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Übungsblatt 1
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Typtheorie
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Schreiben sie alle **möglichen** Implementationen der folgenden
Funktionen. Wozu könnte `fun2` nützlich sein?
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fun1 :: a -> a
fun1 = _fun1

fun2 :: a -> b -> a
fun2 = _fun2

fun3 :: (Eq a) => a -> a -> Bool
fun3 = _fun3

{- Wir haben in der Vorlesung parametrisierte Typen kennengelernt. Der
simpelste hiervon ist `Identity`, der genau gar nichts macht, sondern
nur einen anderen Typen einpackt.-}

data Identity a = Identity a

{- Diese Definition stellt uns automatisch den Konstruktor
`Identity :: a -> Identity a` zur Verfügung, der ein `a` einpackt.
Schreiben sie die Funktion -}

unIdentity :: Identity a -> a
unIdentity = _unIdentity

{- welche diesen Vorgang wieder rückgängig macht.

Angenommen, sie hätten nun ein Wert vom Typen `Identity a` und eine
Funktion mit dem Typen `a -> b`. Wie wenden sie diese auf das `a`
"innerhalb" des `Identity` an um ein `Identity b` herzustellen?
Schreiben sie also eine Funktion-}

mapIdentity :: (a -> b) -> Identity a -> Identity b
mapIdentity = _mapIdentity

{- **Hinweis:** Es gibt *zwei* prinzipielle Vorgehen dieses zu
implementieren. Kommen sie auf beide?

Funktionen sind auch nur Typen
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Datentypen können auch Funktionen enthalten. Sehen sie sich einmal den
Datentypen-}

data Pred a = Pred (a -> Bool)

{- an. Hier wird ein Prädikat definiert, welches (gegeben einen Datentyp
`a`) eine Funktion gespeichert hat, die `a` in einen `Bool` umwandeln
kann (etwa um irgendwas zu filtern/selektieren/löschen/..., wenn man
dies an eine weitere Funktion übergibt).

Auch hier können sei eine Funktion schreiben, die das `Pred a` wieder
"auspackt". Definieren sie-}

unPred :: Pred a -> (a -> Bool)
unPred = _unPred

{- Da Haskell-Funktionen aber "gecurried" sind, können sie die Klammern
hinten in der Signatur auch weglassen und erhalten
`unPred :: Pred a -> a -> Bool`, was man zugleich als "wende `Pred a`
an, wenn du ein `a` bekommst" lesen kann. In der Tat sind beide
Funktionen identisch (wieso?).

Bonus

Was für eine Funktion bräuchten sie um ein `Pred a` in ein `Pred b`
umzuwandeln? Können sie diese Implementieren?-}

mapPred :: _fun -> Pred a -> Pred b
mapPred = _mapPred

{-
Neue Typen erfinden
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In Haskell ist ein zentraler Vorgehenspunkt das Definieren und Verwenden
von eigenen Datentypen. Zur Erinnerung; es gibt 2 Möglichkeiten, die man
miteinander kombinieren kann: `data Prod a b c = Prod a b c` benötigt
sowohl `a`, `b` als auch `c` um einen Wert zu erzeugen,
`data Sum a b = Sum1 a | Sum2 b` braucht entweder ein `a` um durch den
Konstruktor `Sum1` ein `Sum a b` zu erzeugen oder ein `b` um durch den
Konstruktor `Sum2` ein `Sum a b` zu erzeugen.

Definieren sie einen Datentypen `Vielleicht a`, der zwei Konstruktoren
besitzt: Einen Konstruktor, der durch ein `a` ein `Vielleicht a`
konstruiert wird und ein zweiter Konstruktor, der keinen Wert nimmt,
sondern die "Abwesenheit eines `a`" symbolisieren soll.-}

data Vielleicht a = Exercise

{- Können sie hier eine Funktion schreiben, die das `a` extrahiert? Wenn
ja, implementieren sie diese; wenn nein, geben sie eine kurze
Begründung.

Wie würden sie mittels einer Funktion `a -> b` ein `Vielleicht a` in ein
`Vielleicht b` wandeln? Implementieren sie-}

mapVielleicht :: (a -> b) -> Vielleicht a -> Vielleicht b
mapVielleicht = _mapVielleicht

{-
Bonus

Man kann Typen natürlich auch Schachteln. Worin liegt eigentlich der
Unterschied zwischen einem `Pred (Vielleicht a)` und einem
`Vielleicht (Pred a)`? Oder sind diese Identisch?
-}