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# Übungsblatt 1
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## Typtheorie
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Schreiben sie alle **möglichen** Implementationen der folgenden Funktionen. Wozu könnte `fun2` nützlich sein?
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```haskell
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fun1 :: a -> a
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fun1 = _fun1
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fun2 :: a -> b -> a
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fun2 = _fun2
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fun3 :: (Eq a) => a -> a -> Bool
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fun3 = _fun3
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```
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Wir haben in der Vorlesung parametrisierte Typen kennengelernt. Der simpelste hiervon ist `Identity`, der genau gar nichts macht, sondern nur einen anderen Typen einpackt.
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```haskell
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data Identity a = Identity a
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```
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Diese Definition stellt uns automatisch den Konstruktor `Identity :: a -> Identity a` zur Verfügung, der ein `a` einpackt. Schreiben sie die Funktion
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```haskell
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unIdentity :: Identity a -> a
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unIdentity = _unIdentity
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```
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welche diesen Vorgang wieder rückgängig macht.
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Angenommen, sie hätten nun ein Wert vom Typen `Identity a` und eine Funktion mit dem Typen `a -> b`. Wie wenden sie diese auf das `a` "innerhalb" des `Identity` an um ein `Identity b` herzustellen? Schreiben sie also eine Funktion
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```haskell
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mapIdentity :: (a -> b) -> Identity a -> Identity b
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mapIdentity = _mapIdentity
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```
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**Hinweis:** Es gibt *zwei* prinzipielle Vorgehen dieses zu implementieren. Kommen sie auf beide?
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## Funktionen sind auch nur Typen
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Datentypen können auch Funktionen enthalten. Sehen sie sich einmal den Datentype
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```haskell
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data Pred a = Pred (a -> Bool)
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```
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an. Hier wird ein Prädikat definiert, welches (gegeben einen Datentyp `a`) eine Funktion gespeichert hat, die `a` in einen `Bool` umwandeln kann (etwa um irgendwas zu filtern/selektieren/löschen/..., wenn man dies an eine weitere Funktion übergibt).
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Auch hier können sei eine Funktion schreiben, die das `Pred a` wieder "auspackt". Definieren sie
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```haskell
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unPred :: Pred a -> (a -> Bool)
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unPred = _unPred
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Da Haskell-Funktionen aber "gecurried" sind, können sie die Klammern hinten in der Signatur auch weglassen und erhalten `unPred :: Pred a -> a -> Bool`, was man zugleich als "wende `Pred a` an, wenn du ein `a` bekommst" lesen kann.
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In der Tat sind beide Funktionen identisch (wieso?).
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### Bonus
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Was für eine Funktion bräuchten sie um ein `Pred a` in ein `Pred b` umzuwandeln? Können sie diese Implementieren?
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```haskell
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mapPred :: _fun -> Pred a -> Pred b
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mapPred = _mapPred
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```
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## Neue Typen erfinden
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In Haskell ist ein zentraler Vorgehenspunkt das Definieren und Verwenden von eigenen Datentypen. Zur Erinnerung; es gibt 2 Möglichkeiten, die man miteinander kombinieren kann: `data Prod a b c = Prod a b c` benötigt sowohl `a`, `b` als auch `c` um einen Wert zu erzeugen, `data Sum a b = Sum1 a | Sum2 b` braucht entweder ein `a` um durch den Konstruktor `Sum1` ein `Sum a b` zu erzeugen oder ein `b` um durch den Konstruktor `Sum2` ein `Sum a b` zu erzeugen.
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Definieren sie einen Datentypen `Vielleicht a`, der zwei Konstruktoren besitzt: Einen Konstruktor, der durch ein `a` ein `Vielleicht a` konstruiert wird und ein zweiter Konstruktor, der keinen Wert nimmt, sondern die "Abwesenheit eines `a`" symbolisieren soll.
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Können sie hier eine Funktion schreiben, die das `a` extrahiert? Wenn ja, implementieren sie diese; wenn nein, geben sie eine kurze Begründung.
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Wie würden sie mittels einer Funktion `a -> b` ein `Vielleicht a` in ein `Vielleicht b` wandeln? Implementieren sie
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```haskell
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mapVielleicht :: (a -> b) -> Vielleicht a -> Vielleicht b
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mapVielleicht = _mapVielleicht
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```
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### Bonus
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Man kann Typen natürlich auch Schachteln. Worin liegt eigentlich der Unterschied zwischen einem `Pred (Vielleicht a)` und einem `Vielleicht (Pred a)`? Oder sind diese Identisch?
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